1) Introduktion till Matriser

• En matris inom matematiken är en ordnad uppsättning av tal, vilket ibland kan beskrivas som en rektangulär uppsättning av tal.
• När vi talar om vad som finns inne i en matris, hänvisar vi till dessa tal. Till exempel, i följande matris:
• [ 1  -7  5 13 ] R1
  [ 3  -9  2  -4 ] R2
  [ 6  -2 1    5 ] R3
  • “R” består för rad.
  • Talen inom parenteserna representerar elementen eller posterna i matrisen.
  • I matematiska termer kan vi använda detta format för att organisera och manipulera data på ett strukturerat sätt.

Rad och Kolumn

• För att förstå matriser är det viktigt att känna till begreppen rad och kolumn. Tänk dig att du ser en person ro en båt. Det är en bra bild för att komma ihåg:
  • Rad: En rad går från vänster till höger. I vårt exempel har matrisen tre rader.
  • Kolumn: En kolumn går upp och ner. Vår matris har fyra kolumner.

Bestämning av Ordning

• Ordningen eller dimensionen av en matris beskriver antalet rader och kolumner. Ordningen anges alltid med antalet rader först och antalet kolumner andra. Till exempel:
  • Matrisen med 3 rader och 4 kolumner beskrivs som en “3×4” matris.
  • En matris med 5 rader och 4 kolumner beskrivs som en “5×4” matris.

• Låt oss använda våra exempel:

  • Den första matrisen (3 rader och 4 kolumner) är en “3×4” matris.
  • [ 1  -7  5 13 ]
  • [ 3  -9  2  -4 ]
  • [ 6  -2 1    5 ]
  • Denna matris har 3 rader och 4 kolumner.
  • Detta representeras som en “3 x 4” matris, där antalet rader alltid kommer före antalet kolumner.
  • Den andra matrisen (5 rader och 3 kolumner) är en “5×3” matris.
  • [ 2 5  8 ]
  • [ -1 3 7 ]
  • [ 0 4  6 ]
  • [ -2 1 9 ]
  • [ 3 2 -5 ]
• Denna matris har 5 rader och 3 kolumner.
• Ordningen av denna matris är “5 x 3”, där antalet rader (5) kommer först och sedan antalet kolumner (3).

Namngivning av Matriser

• Låt oss säga att vi har matrisen A:
• A = [ 4 2 ]
•        [ -3 -1 ]
• Nu kan vi använda matrisen A i flera operationer utan att behöva lista elementen varje gång.
• Fyrkantiga Matriser
  • Om en matris har samma antal rader som kolumner, kallas den en fyrkantig matris.
  • En fyrkantig matris har lika många rader som kolumner.
  • Om en matris har 2 rader och 2 kolumner, som i exemplet med matrisen A:
  •  [ 4   2 ]
  •  [ -3 -1 ]
  • Denna matris är en 2×2-matris och kallas också en fyrkantig matris eftersom den har samma antal rader (2) som kolumner (2).
•  Generell Information om Fyrkantiga Matriser
  • Oavsett om det är en 2×2-matris, 3×3-matris, 4×4-matris eller vilken storlek som helst, om antalet rader är lika med antalet kolumner, är det en fyrkantig matris.
• Exempel på Fyrkantiga Matriser
• Här är en annan fyrkantig matris, kallad B:
• B=  [ 1 2 3 ]
  •     [ 4 5 6 ]
  •     [ 7 8 9 ]
• Matrisen B är en 3×3-matris och anses vara en fyrkantig matris eftersom den har samma antal rader (3) som kolumner (3).

Radmatris och Kolumnmatris

• En radmatris är en matris som har endast en rad och flera kolumner.
• En kolumnmatris är en matris som har endast en kolumn och flera rader.
• Radmatris och Kolumnmatris
  • Här är ett exempel på en radmatris, kallad D:
  • D = [ 2 5 8 ]
  • Matrisen D har en enda rad och tre kolumner.
  • Ordern för D är “1 x 3”, och den kallas en radmatris eftersom den har en enda rad.
• Kolumnmatris
  • Här är ett exempel på en kolumnmatris, kallad A:
• A = [ 4 ]
  •     [ -3 ]
  •     [ 7 ]
  •     [ 2 ]
  • Matrisen A har en enda kolumn och fyra rader.
  • Ordern för A är “4 x 1”, och den kallas en kolumnmatris eftersom den har en enda kolumn.

Matris Notation

• För att notera en matris generellt, används en stor bokstav, till exempel A, och inom parenteser placeras små bokstäver med subskript för att indikera specifika element.
• Matris Notation
• Låt oss säga att vi har en matris A:
• A = [ a₁₁ a₁₂ a₁₃ ]
  •     [ a₂₁ a₂₂ a₂₃ ]   
  •     [ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ]
• Allmän Matris Notation
  • Generellt används notationen aᵢⱼ för att representera ett element i en matris, där i är radnummer och j är kolumnnummer.
  • Om vi har en matris A med n antal rader och m antal kolumner, används notationen aᵢⱼ där i är ett värde mellan 1 och n och j är ett värde mellan 1 och m för att representera ett element i matrisen.
  • [ aᵢⱼ aᵢⱼ aᵢⱼ ]
  • [ aᵢⱼ aᵢⱼ aᵢⱼ ]
• Här representerar aᵢⱼ ett specifikt element i matrisen A.
• För att hitta ett specifikt matriselement, använd subskripten i och j, där i anger raden och j anger kolumnen.
• Subskripten i och j används för att ange rad- och kolumnplacering för elementet.
• Specifikt Matris Element
  • Om vi vill veta värdet av a₃₃ i matrisen A:
  • a₃₃ är det element som finns i den tredje raden och den tredje kolumnen i matrisen A.
  • Så i detta fall, a₃₃ är värdet av det elementet som finns i den positionen.

Notation med Komma

• Ibland används kommatecken i stället för subskript för att ange matriselement. Detta kan ibland orsaka förvirring.
• Notation med Komma
  • Om vi har matrisen A och vill ange ett specifikt element i den tredje raden och den andra kolumnen:
  • Det kan skrivas som antingen a₃₂ eller som a₃,₂.
  • Båda dessa notationer betyder samma sak och representerar elementet i den tredje raden och den andra kolumnen i matrisen A.
• Användning av Kommatecken
  • Kommatecken används särskilt när det finns två eller fler siffror i subskripten för att undvika förväxling.
    • Exempel:
    • Om vi har matrisen A och vill ange ett specifikt element i den tredje raden och den tolfte kolumnen:
    • Det bör skrivas som a₃,₁₂ för att tydligt indikera att detta element är i den tredje raden och den tolfte kolumnen i matrisen A.

Att Hitta Specifika Matriselement

• För att hitta ett specifikt matriselement, använd subskripten för rad och kolumn.
• Om vi har matrisen B:
• B = [ 1 -5 9 ]
  •    [ -7 4 12 ]
• Om vi vill hitta värdet av Bₖₗ, där k är radnummer och l är kolumnnummer:
• Bₖₗ betyder att vi ska leta i rad k och kolumn l.
• Specifikt Matriselement
  • Om vi vill hitta värdet av B₂₃ i matrisen B:
  • Först letar vi efter rad 2 (andra kolumnen).
  • Sedan letar vi efter kolumn 3 (tredje raden).
  • Värdet på plats B₂₃ är 12.
• Om Elementet Inte Existerar
  • Om en specifik kombination av rad och kolumn inte finns i matrisen, kan du ange att detta element inte finns.
  • Svaret skulle vara “existerar inte”.

Jämförelse av Matriser

• Storleken på Matriser
  • För att två matriser ska vara lika måste de ha samma storlek eller ordning.
  • Det innebär att antalet rader och antalet kolumner i de två matriserna måste vara detsamma.
  • Till exempel, om en matris är 3×3 (3 rader och 3 kolumner), måste den andra matrisen också vara 3×3 för att de ska vara lika.
• Jämförelse av Element
  • Förutom att ha samma storlek måste varje motsvarande element i de två matriserna vara lika.
  • Det innebär att elementet i rad 1, kolumn 1 i den första matrisen måste vara lika med elementet i rad 1, kolumn 1 i den andra matrisen, och så vidare för alla element i matrisen.

Att Bestämma Om Två Matriser Är Likvärdiga

• Två matriser anses vara likvärdiga om och endast om de har samma storlek eller ordning, och varje motsvarande element i matriserna är lika.
• Jämförelse av Matriser
  • Om vi har två matriser, A och B:
  • A = [ 2 X ]
    •     [ Z 5 ]
  • B = [ Y 3 ]
    •    [ 4 W ]
  • Vi vill hitta värdena på variablerna (X, Y, Z, W) som gör att ekvationen A = B är sann.
• Jämförelse av Matriser
  • Vi jämför motsvarande element i A och B.
  • Första raden: 2 = Y, vilket ger Y = 2 och X = 3.
  • Andra raden: Z = 4 och  5 = W.
• Bestämning av Värden för Variabler
  • Genom att jämföra motsvarande element i matriserna hittar vi värdena för variablerna:
  • X = 3, Y = 2, Z = 4, W = 5.
• Mer Komplexa Ekvationer
  • Ibland kan ekvationerna vara mer komplexa, men principen för att hitta värdena för variablerna förblir densamma.

• Determinanter

• • Ordet “determinant” är av latinskt ursprung.
  • Det härstammar från det latinska ordet “determinans”, som är det presens participium av verbet “determinare”, vilket betyder “att avgränsa” eller “att bestämma”.
• Determinanten av en matris är en matematisk egenskap som används för att avgöra om matrisen är inverterbar eller inte.
• Den kan också användas för att beräkna vissa egenskaper hos matrisen, såsom dess area eller volym.
• Det finns olika metoder för att beräkna determinanten, beroende på matrisens storlek och egenskaper.
• Exempel: Beräkning av Determinant och Inverterbarhet av en 2×2-Matris
  • Låt oss säga att vi har följande 2×2-matris A:
  • A = [ 2 3 ]
    •     [ 1 4 ]
  • Beräkning av Determinanten: Determinanten för en 2×2-matris A, som är representerad som det här:
  • |A| = ad – bc
  • där a, b, c och d är elementen i matrisen, i detta fall:
  • a = 2
  • b = 3
  • c = 1
  • d = 4
  • Så, determinanten av matrisen A blir:
  • |A| = (2 * 4) – (3 * 1) = 8 – 3 = 5
  • Så, determinanten |A| är 5.
  • Användning för att Avgöra Inverterbarhet: För en 2×2-matris är den inverterbar om dess determinant är olika från noll (|A| ≠ 0).
  • I det här fallet är determinanten 5, vilket inte är noll. Så matrisen A är inverterbar.
  • Detta exempel visar hur man beräknar determinanten för en 2×2-matris och använder den för att avgöra om matrisen är inverterbar eller inte.

Lösning av ett linjärt system med två variabler genom Cramers regel

• Vi har två ekvationer:
  • 2x + 6y = -1
  • x + 8y = 2
• För att lösa dessa med Cramers regel, beräknar vi först determinanten (D) för koefficientmatrisen:
• D = |2 6|
  •     |1 8|
• För att lösa för x, beräknar vi determinanten (Dx) genom att ersätta x-kolumnen med konstantkolonnen:
• Dx = |-1 6|
  •      | 2 8|
• För att lösa för y, beräknar vi determinanten (Dy) genom att ersätta y-kolumnen med konstantkolonnen:
• Dy = |2 -1|
  •       |1 2|
• Determinanterna beräknas enligt följande:
  D = (28) – (61) = 16 – 6 = 10
  Dx = (-18) – (62) = -8 – 12 = -20
  Dy = (22) – (-11) = 4 + 1 = 5
• Lösningarna för x och y är då:
  x = Dx / D = -20 / 10 = -2
  y = Dy / D = 5 / 10 = 0.5
• Så, lösningen för systemet är x = -2 och y = 0.5.